已知函数f（x）=xlnx． （1）求f（x）的最小值； （2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

题目

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

答案

（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，令lnx+1=0，得x=1e，当x＞1e时，f'（x）＞0，当0＜x＜1e时，f'（x）＜0 所以f（x）先减后增，最小值为f（1e）=-1e．（2）由（1）知，f（x）先减后增，最小值为f（1e）=-1e，f...

（1）由f（x）=xlnx，知f'（x）=lnx+1，令lnx+1=0，得x=

1

e

，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由f（x）先减后增，最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）=xlnx定义域是{x|x＞0}，f（1）=0，作出函数f（x）=xlnx草图，由此能当判断关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题考查函数的最小值的求法和判断关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．