1+1/2+1/3+1/4+…+1/n等于多少
题目
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n等于多少
1+1/2+1/3+…+1/n等于多少
答案
这是调和级数,没有通项公式,有近似公式
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn
ln是自然对数,
当n 趋于无穷时,
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+R
R为欧拉常数,约为0.5772.
推理查看百科上有,不知道你能不能看懂
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数:
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是:
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的:
根据Newton的幂级数有:
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是:
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出:
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到:
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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