微积分一道题

题目

微积分一道题
设f(x)在x=0的某个邻域内连续,且有limx→0 f(x)/xsinx=1,验证x=0为f(x)的驻点且为极小值点.

答案

∵limx→0 f(x)/xsinx=1 ∴limx→0 f(x)/x²=1 ∴limx→0 f(x)＝0 用罗比塔法则 ∴limx→0 f'(x)/2x=1 ∴limx→0 f'(x)＝0 ∴x＝0是驻点 再用罗比塔法则 ∴limx→0 f"(x)/2=1 ∴f"（x）＞0,是极小值