3个三位数乘积的算式 abc×bca×cab=234235286,(其中a>b>c)在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的.问:原式中的abc是多少?
题目
3个三位数乘积的算式 abc×bca×cab=234235286,(其中a>b>c)在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的.问:原式中的abc是多少?
答案
234235286≡2+3+4+2十3+5+2+8+6≡8(mod 9)
abc×bca×cab≡(a+b+c)3(mod 9)
于是 (a+b+c)3≡8(mod 9)
从而(用a+b+c≡0,1,2,…,8代入上式检验) a+b+c≡2,5,8(mod 9)(1)
对a进行讨论
如果a=9,那么 b+c≡2,5,8(mod 9)(2)
又c×a×b的个位数字是6,所以 b×c=4×1=7×2=8×3=6×4
其中只有(b,c)=(4,1),(8,3)符合(2),经检验只有 983×839×398=328245326 符合题意
如果a=8,那么 b+c≡3,6,O(mod9)(3)
又b×c=2×1=4×3=6×2=7×6=7×1,其中只有(b,c)=(2,1),符合(3).
经检验abc=921,不合题意
如果a=7,那么 b+c≡4,7,1(mod 9)(4)
又b×c=4×2=6×3,其中没有符合(4)的b、c
如果a≤6,那么abc×bca×cab<700×600×500=210000000<222334586,
因此这时abc不可能符合题意.
综上所述,abc=983是本题唯一的解.
考虑除以9的余数,我们用x≡y(mod9),表示x,y除以9的余数相同,也就是x-y是9的倍数,读作x与y模9同余,熟知一个自然数与它的数字和模9同余.
数字问题.
本题采用枚举法(也称为穷举法),分情况进行讨论,这是一种极常用的方法.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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