设函数f（x）=xex，g（x）=ax2+x （I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值； （Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．

题目

设函数f（x）=xe^x，g（x）=ax²+x
（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；
（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．

答案

（I）∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，…（2分）当x＜-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）内单调递减；当x＞-1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）内单调递增…（4分）又g′（x）=2ax+1，由g...

（I）求f（x）的导数，可得单调区间，由极值点可得a值，可验证符合题意；
（Ⅱ）可转化为f（x）-g（x）=x（e^x-ax-1）≥0恒成立，令F（x）=e^x-ax-1，可得导数F′（x）=e^x-a，对a进行分类讨论可得结论．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．