如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,G是边AB上的一点,过点G作GE∥DC交BC边于点E,F是EC的中点,连接GF并延长交DC的延长线于点H.求证:BG=CH.
题目
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,G是边AB上的一点,过点G作GE∥DC交BC边于点E,F是EC的中点,连接GF并延长交DC的延长线于点H.求证:BG=CH.
答案
证明:在△GEF和△HCF中,
∵GE∥DC,
∴∠GEF=∠HCF,
∵F是EC的中点,
∴FE=FC,
而∠GFE=∠CFH(对顶角相等),
∴△GEF≌△HCF,
∴GE=HC,
四边形ABCD为等腰梯形,
∴∠B=∠DCB,
∵GE∥DC,
∴∠GEB=∠DCB,(2分)
∴∠GEB=∠B,
∴GB=GE=HC,
∴BG=CH.
可先证△GEF≌△HCF得出GE=CH,从而把所证问题转化为BG=EG,这样就可通过证明∠B=∠GEB来得到所证得结论.
矩形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.
本题在于考查等腰梯形的性质,也考查了转化思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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