设a与b为正数,并且满足a+b=1,a^2+b^2≥k,则k的最大值为?

题目

设a与b为正数,并且满足a+b=1,a^2+b^2≥k,则k的最大值为?
参考答案是0.25

答案

a^2+b^2
= (a+b)^2 - 2ab
= 1 - 2ab
a+b=1
a+b ≥ 2√(ab)
√(ab) ≤ 1/2
ab ≤ 1/4
-2ab ≥ -1/2
1 - 2ab ≥ 1/2
所以k的最大值是 1/2