平面向量的综合应用

题目

平面向量的综合应用
x,y是任意实数,用向量法证明:x*x+y*y>=2xy
请提供解题过程,谢谢

答案

证明:设X=ai+bj,Y=ci+dj.a,b,c,d∈R.i,j分别为X,Y轴上的单位向量,且
i^2=i•i=1*1*cos0°=1; j^2=j•j=1*1*cos0°=1,i•j=1*1*cos90°=0.于是
x^2+y^2-2xy=(ai+bj)^2+(ci+dj)^2-2(ai+bj)(ci+dj)
=(ai)^2+(bj)^2+2ab(i•j)+(ci)^2+(dj)^2+2cd(i•j)-2[aci^2+bdj^2
+(ac+bd)(i•j)
=a^2+b^2+c^2+d^2-2(ac+bd)=(a-c)^2+(b-d)^2≥0.
即有x^2+y^2≥2xy.