是否存在角α、β,α∈(-π/2,π/2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β),√3cos（-α）=-√2cos(π+β)同时成立,若存在,求出α、β的值,若不存在说明

题目

是否存在角α、β,α∈(-π/2,π/2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β),√3cos（-α）=-√2cos(π+β)同时成立,若存在,求出α、β的值,若不存在说明理由

答案

等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β),√3cos（-α）=-√2cos(π+β)可化简为
sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ
两式两边均平方再相加得sin²α+3cos²α=2sin²β+2cos²β=2
即2cos²α=1,解得α=π/4或-π/4
由β∈(0,π)可知sinβ>0,故sinα>0,所以α=-π/4不合题意
将cosα=√2/2代入√3cosα=√2cosβ得cosβ=√3/2故β=π/6
故α=π/4且β=π/6