三角形ABC,角ACB=90度,AD是角CAB的平分线,交BC于D,BC=4,CD=3/2,求AC的长（不用勾股定理、角函数）.

题目

三角形ABC,角ACB=90度,AD是角CAB的平分线,交BC于D,BC=4,CD=3/2,求AC的长（不用勾股定理、角函数）.

答案

过点D做DE⊥AB于E
因为AD平分角CAB
所以DC=DE=3/2
因为AD=AD
所以Rt△ACD≌Rt△AED
AC=AE
BD=BC-CD=5/2
根据角平分线成比例
AB/AC=BD/CD
AB/AC=5/3
设AB=5a,AC=3a
则AE=AC=3a,BE=2a
因为∠B=∠B,∠C=∠BED=90
所以△ACB∽△DEB
AC/DE=BC/BE
3a/(3//2)=4/2a
a²=1
a=1
AC=3a=3