已知双曲线c：x²／4－y²=1,P为双曲线上任意一点

题目

已知双曲线c：x²／4－y²=1,P为双曲线上任意一点
1：求证：点P到双曲线c的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
2：设点A的坐标为（3,0）,求丨PA丨的最小值

答案

渐近线方程为y=±x/2,即x±2y=0,点P坐标为（m,n）,且m²／4－n²=1,所以m²-4n²=4
所以P到两条直线的距离d1=|m+2n|/√5,d2=|m-2n|/√5
所以d1d2=|m²-4n²|/5=4/5,为一个常数.
|PA|²=(m-3)²+n²=(m-3)²+m²/4-1=5m²/4-6m+8=5/4(m-12/5)²-104/5
因为m≥2或m≤-2,所以最小值在-2或12/5时取得,因为m=12/5时,值为-104/5