证明二项式系数平方和等于组合数C(2n,n)

题目

证明二项式系数平方和等于组合数C(2n,n)
详见图

答案

证 由二项式定理得 (1+x)^n=∑C(k,n)*x^k 所以(1+x)^(2n)= [C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]*[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n] =...+[C(0,n)*C(n,n)+C(1,n)*C(n-1,n)+...+C(n,n)*C(0,n)]x^n+...也就是说,在(1+x)^(2n)的展开式中,x^n的系数是:∑C(k,n)*C(n-k,n)=∑[C(k,n)]^2.另一方面,据二项式定理得:(1+x)^(2n)=∑[C(k,2n)]*x^k.即x^k的系数为C(n,2n).由此可得:∑[C(k,n)]^2=C(n,2n).