过双曲线x2a2−y2b2＝1 (a＞0 ，b＞0)的左焦点，且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于（　　） A.3 B.32 C.2

题目

过双曲线

−

＝1 (a＞0

答案

由题意，当x=-c时，y=±

∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，
∴

＝a+c
∴c²-a²=a（a+c）
∴c-a=a
∴c=2a
∴e=

＝2
故选C．

先求出当x=-c时，y的值，再利用以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，建立方程，由此可得双曲线的离心率．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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