在某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列;若插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
题目
在某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列;若插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).
答案
∵x,a,y成等比数列
∴a
2=xy
∵a>1
∴
a=∵x,b,c,y成等差数列
∴b-x=c-b=y-c
即b=
,c=
∴(b+1)(c+1)=
(+1)(
+1)=
∵x>0,y>0
∴
≥
+2+1= (+1)2=(a+1)
2即:(a+1)
2≤(b+1)(c+1).
根据某两个正数x,y之间,若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列,得到
a=,在根据插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列,得到b=
,c=
,从而将原不等式转化为关于x,y的关系式,再利用基本不等式即可
基本不等式;等差数列与等比数列的综合.
本题考查了基本不等式,等差数列与等比数列的综合,属于基础题.
举一反三
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