如图,△ABC中,E是△ABC的内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DB.
题目
如图,△ABC中,E是△ABC的内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DB.
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答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/eaf81a4c510fd9f97f02c3d8262dd42a2834a46e.jpg)
连接BE,
∵E为内心,
∴AE,BE分别为∠BAC,∠ABC的角平分线,
∴∠BED=∠BAE+∠EBA,∠EBA=∠EBC,∠BAE=∠EAC,
∴∠BED=∠EBC+∠EAC,∠EBD=∠EBC+∠CBD,
∵
=
,
∴∠EAC=∠CBD,
∴∠EBD=∠BED,
∴DE=BD.
首先连接BE,由E是内心,易证得∠BED=∠EBC+∠EAC,∠EBD=∠EBC+∠CBD,又由同弧所对的圆周角相等,证得∠EAC=∠CBD,则可得∠EBD=∠BED,即可证得DE=BD;
三角形的内切圆与内心.
此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识.此题综合性较强,注意数形结合思想的应用.
举一反三
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