一道幂级数证明题

题目

一道幂级数证明题
证明sinθ/1^2 + sin2θ/2^2 +…… sin nθ/n^2对任何θ都收敛

答案

sinθ/1^2 + sin2θ/2^2 +…… sin nθ/n^2
即∑sinnθ/n^2
我们知道,∑1/n^2是收敛级数
而|sinnθ/n^2|≤|1/n^2|
由收敛比较法：
因为∑1/n^2是收敛级数,则∑sinnθ/n^2也收敛!
即sinθ/1^2 + sin2θ/2^2 +…… sin nθ/n^2对任何θ都收敛