已知对任意a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求x的取值范围.
题目
已知对任意a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求x的取值范围.
答案
令f(a)=(x-2)a+x
2-4x+4,则原问题转化为f(a)>0恒成立(a∈[-1,1]).
所以有
,即
,解之得x<1或x>3.
故x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
利用更换主元的办法,把原不等式看成是关于a的一次不等式(x-2)a+x2-4x+4,不等式在a∈[-1,1]时恒成立,只要满足在a∈[-1,1]时直线在a轴上方即可.
一元二次不等式的解法.
本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法,考查了数学转化思想,解答此题的关键是更换主元,使繁杂问题变得简洁,此题是中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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