如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC． 求证：（1）∠AHD=∠AHE；（2）BH/BD＝CH/CE．

题目

如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求证：（1）∠AHD=∠AHE；（2）

BH

BD

＝

CH

CE

．

答案

证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，
∴D，E，H在以AT为直径的圆上，
∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，
又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，
∴∠ATD=∠ATE，
∴∠AHD=∠AHE．
（2）直角△AHB与直角△TDB有公共角，
∴△AHB∽△TDB，
∴

BH

BD

=

AH

TD

．
同理：△AHC∽△TEC，
∴

CH

CE

=

AH

TE

∵TD=TE，
∴

BH

BD

=

CH

CE

．

（1）先判断D，E，H在同一圆上，再用同弧所对的圆周角相等以及角平分线的性质定理证明∠AHD=∠AHE．
（2）用两角对应相等得到两对三角形相似，再用相似三角形的对应边的比相等进行证明．

本题考点：相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据圆的内容得到点D，E，H在同一个圆上，再用圆周角的性质证明两个角相等．（2）用相似三角形的判定定理判定两对三角形相似，然后用相似三角形的性质，对应边的比相等以及角平分线的性质定理进行证明．