已知直线l1为曲线y=x2在点(1,1)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l1与l2的方程; (2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.

已知直线l1为曲线y=x2在点(1,1)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l1与l2的方程; (2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.

题目
已知直线l1为曲线y=x2在点(1,1)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2
(1)求直线l1与l2的方程;
(2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.
答案
(1)f′(x)=2x,∴f′(1)=2
∴直线l1的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1
设l2与曲线y=x2相切的切点为(x1,y1),∵l1⊥l2
∴f′(x1)=2x1=-
1
2
,∴x1=-
1
4
,∴y1=x12=
1
16

∴直线l2的方程为y-
1
16
=-
1
2
(x+
1
4
),即y=-
1
2
x-
1
16

(2)由
y=2x−1
y=−
1
2
x−
1
16
得直线l1与l2的交点坐标为(
3
8
,-
1
4
),
又直线l1,l2与x轴的交点分别为(
1
2
,0),(-
1
8
,0)
∴所求三角形的面积S=
1
2
|
1
2
-(-
1
8
)|×|-
1
4
|=
5
64
(1)先求曲线y=x2的导数,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为f′(1),再用点斜式求出切线方程即可.因为l1⊥l2,可以求出直线l2的斜率,再根据切线的斜率是曲线在切点处的导数,就可求出直线l2与曲线你相切的切点坐标,利用点斜式求出切线方程.
(2)分别求出直线l1,l2的交点坐标,直线l1与x轴的交点坐标,直线l2与x轴的交点坐标,就可用三角形的面积公式求出直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.

利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的一般式方程.

本题主要考查曲线的切线斜率与曲线在切点处的导数的关系,直线方程的求法,以及直线交点的求法,属于直线方程的综合题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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