如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，AB，CD所在直线异面，且AE：EB=CF：FD （Ⅰ）求证：EF∥β； （Ⅱ）若E，F分别是AB，CD的

题目

如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，AB，CD所在直线异面，且AE：EB=CF：FD

（Ⅰ）求证：EF∥β；    
（Ⅱ）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．

答案

（Ⅰ）证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG，因为AE：EB=CF：FD∴EG∥BD，FG∥AC，则EG∥β，FG∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因为；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF⊂平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ） ∵EG∥BD，FG∥AC且E，...

（Ⅰ）直接连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG；结合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，FG∥α；进而得到平面EFG∥β即可证得结论；
（Ⅱ）结合第一问中的结论和AC，BD所成的角为60°可以得到EG=

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BD=3，FG=

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2

AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出结论．

本题考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题主要考查空间中线段距离的计算以及线面平行的判定．在求线段长度问题是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解．