设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于_.
题目
设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于______.
答案
验证发现,当x=1时,将1代入不等式有0≤a+b≤0,所以a+b=0,当x=0时,可得0≤b≤1,结合a+b=0可得-1≤a≤0令f(x)=x4-x3+ax+b,即f(1)=a+b=0又f′(x)=4x3-3x2+a,f′′(x)=12x2-6x,令f′′(x)>0,可得x>...
由题意,x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,考察(x2-1)2,发现当x=1时,其值为0,再对照不等式左边的0,可由两边夹的方式得到参数a,b满足的方程,再令f(x)=x4-x3+ax+b,即f(x)≥0在x≥0恒成立,利用导数研究函数在x≥0的极值,即可得出参数所满足的另一个方程,由此解出参数a,b的值,问题即可得解
导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题.
本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题,由于所给的不等式较为特殊,可借助赋值法得到相关的方程直接求解,本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值,及极值的确定,将问题灵活转化是解题的关键
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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