a1=1,Sn=4a(n-1)+1 n>=2,bn=a(n+1)-2an ,求bn

题目

a1=1,Sn=4a(n-1)+1 n>=2,bn=a(n+1)-2an ,求bn
a1=1,Sn=4a(n-1)+1 n>=2,bn=a(n+1)-2an ,Cn=1/(2^n)*an 求bn和Cn

答案

1)求bn的通项公式
由已知S(n）=4a(n-1)+1,得：S(n+1)=4an+1,两者相减,得
S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)]
由bn=a（n+1）-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1)
因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1)
可见bn是公比为2的等比数列,由a1=1,s2=4a1+2,知a2=5,
从而b1=a2-2a1=5-2×1=3
因此bn=3*2^(n-1)
2）设cn=an/2^n,求证cn是等差数列
由cn=an/2^n,知an=2^n*cn,
且a(n+1)=2^(n+1)*c(n+1),a(n-1)=2^(n-1)*c(n-1),
由bn=2an-4a(n-1)=2*2^n*cn-4*2^(n-1)*c(n-1)=2^(n+1)*[cn-c(n-1)]=3*2^(n-1)
得cn-c(n-1)=3*2^(n-1)/2^(n+1)=3/4
同样有,
b(n+1)=2a(n+1)-4an=2*2^(n+1)*c(n+1)-4*2^n*cn=2^(n+2)*[c(n+1)-cn]=3*2^n
得c(n+1)-cn=3*2^n/2^(n+2)=3/4
由c(n+1)-cn=cn-c(n-1)=3/4知cn为一等差数列.
C1=1/2a1=1/2
Cn=1/2+(n-1)*3/4