设数列{an}前n项和Sn,且a1=1,Sn=4a(n-1)+2(n≥2)

题目

设数列{an}前n项和Sn,且a1=1,Sn=4a(n-1)+2(n≥2)
(1)设bn=a(n+1)-2an,求证{bn}是等比数列
(2)设cn=an／2^n,求证{cn}是等差数列
注：n+1,n-1为下标.

答案

1、a1=1,Sn=4a(n-1)+2
S(n-1)=4a(n-2)+2
an=4[a(n-1)-a(n-2)]
an-2a(n-1)=2*[a(n-1)-2a(n-2)]
[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以bn/b(n-1)=[a（n+1）-2an]/[an-2a(n-1)]=2
{bn}是等比数列
2、cn=an／2^n
cn-c(n-1)=an／2^n-a(n-1)／2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n
因为：[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以：b(n-1)=an-2a(n-1)=b1*2^(n-2)
b1=a2-2a1=5-2=3
所以：cn-c(n-1)=an／2^n-a(n-1)／2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n=3*2^(n-2)/2^n=3/4
所以：
{cn}是等差数列