一道很有趣的概率题,

题目

一道很有趣的概率题,
三个彼此很了解的射击选手a,b,c进行一场比赛,命中率分别是a为40%,b为70%,c为100%,先让a对b和c其中的一位射击,被射中的淘汰出局,未射中轮到b射ac中的一位,再轮到c,再轮到a,……,如此循环,直到淘汰一位,剩下2人再轮流射击,直到有人被击中为止,被击中的淘汰,剩下那位赢得这场比赛,请问开始a应该采取怎样的策略使得赢得这场比赛的概率最大,最大概率为多少?

答案

很老很老的题目了.
a把bc任何一个射死,和剩下一个单挑,而且还是对方先开枪,胜率都很低.
所以一开始应该朝天开枪.
b如果射中a必然被c射中,所以b肯定朝c开枪.
如果射中c,问题就变成a和b单挑,a先开枪.
如果射不中c.c肯定射中对自己威胁大的b.然后第二轮a还有一枪,40%获胜机会.
a和b单挑,a先开枪获胜概率是0.4+0.6*0.3*0.4+0.6*0.3*0.6*0.3*0.4+.+（0.6*0.3）^n*0.4
=0.4*(1-0.18^n)/(1-0.18)
n趋向无穷大时为0.4/0.82
a获胜概率为0.7*0.4/0.82+0.3*0.4约等于46.15%.
基本上这个题目的要点在于c为100%,把问题简化成2人单挑,不然计算繁琐很多.