如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　） A.12 B.24 C.8 D.6

题目

如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A. 12
B. 24
C. 8
D. 6

答案

∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4-x）²+4²=（4+x）²，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S_△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm²．
故选D．

由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．

本题考点：切线长定理；勾股定理．

考点点评：此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．