如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABDC的边AB在x轴上,顶点C在y轴上,A(-6,0),C(0,8),抛物线y=ax2-10ax+c经过点C,且顶点M在直线BC上,则抛物线解析式为_.
题目
如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABDC的边AB在x轴上,顶点C在y轴上,A(-6,0),C(0,8),抛物线y=ax
2-10ax+c经过点C,且顶点M在直线BC上,则抛物线解析式为___.
答案
∵A(-6,0),C(0,8),
∴OA=6,OC=8,
∴AC=
=10,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=AC=10,
∴OB=AB-OA=4,
∴点B(4,0),
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
,
解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=-2x+8,
∵抛物线y=ax
2-10ax+c经过点C,
∴c=8,
∴x=-
=5,y=
=8-25a,
∴顶点为:(5,8-25a),
∵顶点M在直线BC上,
∴8-25a=-2×5+8,
∴a=
,
∴抛物线解析式为:y=
x
2-4x+8.
故答案为:y=
x
2-4x+8.
由在平面直角坐标系xOy中,菱形ABDC的边AB在x轴上,A(-6,0),C(0,8),利用勾股定理即可求得AC的长,继而求得点B坐标,继而求得直线BC的解析式,然后由抛物线y=ax2-10ax+c经过点C,且顶点M在直线BC上,求得答案.
A:菱形的性质 B:待定系数法求二次函数解析式
此题考查了菱形的性质、待定系数法求函数的解析式以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
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