某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该
题目
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
答案
(1)如图设小艇的速度为v,时间为t相遇,
则由余弦定理得:OC
2=AC
2+OA
2-2×AC×OAcos∠OAC
即:vt
2=400+900t
2-1200tcos60
0=900t
2-600t+400=
900(t−)2+300当t=
时,取得最小值,此时,v=30
(2)要用时最小,则首先速度最高,即为:30海里/小时,则由(1)可得:OC
2=AC
2+OA
2-2×AC×OAcos∠OAC即:(30t)
2=400+900t
2-1200tcos60
0解得:t=
,此时∠BOD=30°
此时,在△OAB中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
(1)如图设小艇的速度为v,时间为t相遇,则由余弦定理得:OC
2=AC
2+OA
2-2×AC×OAcos∠OAC,即:vt
2=400+900t
2-1200tcos60
0=900t
2-600t+400=
900(t−)2+300再由二次函数法求解最值.
(2)根据题意,要用时最小,则首先速度最高,即为:30海里/小时,然后是距离最短,则由(1)可得:
OC
2=AC
2+OA
2-2×AC×OAcos∠OAC即:(30t)
2=400+900t
2-1200tcos60
0解得:t=
,再解得相应角.
函数模型的选择与应用.
本题主要考查函数模型的建立和应用,主要涉及了余弦定理,二次函数法求最值,还考查了数形结合的思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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