f(a)=0,f(b)=0,f'(x)>0,证f(x)

题目

f(a)=0,f(b)=0,f''(x)>0,证f(x)

答案

由拉格朗日中值定理知
在(a,b)上存在ξ使f‘(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=0
∵f''(x)>0
∴f'(x)递增
所以(a,ξ)上,f'(x)＜0；(ξ,b)上,f'(x)＞0
又f(a)=f(b)=0,所以f(x)＜0,x∈(a,b)