已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+1.若a为整数,且函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,求a的值.
题目
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+1.若a为整数,且函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,求a的值.
答案
(1)a=0时,由f(x)=ax
2-(a+2)x+1=-2x+1=0,得x=
,所以f(x)在(-2,-1)内没有零点;
(2)a≠0时,由f(x)=ax
2-(a+2)x+1,△=(a+2)
2-4a=a
2+4>0恒成立,
知f(x)=ax
2-(a+2)x+1必有两个零点.
若f(-2)=0,即4a+2(a+2)+1=0,解得a=
−∉Z;
若f(-1)=0,即a+(a+2)+1=0,解得a=
−∉Z,
所以f(-2)f(-1)≠0.
又因为函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,
所以f(-2)f(-1)<0,即(6a+5)(2a+3)<0.
解得
−<a<−,
由a为整数,所以a=-1,
综上所述,所求整数a的值为-1.
分别讨论a的取值,利用函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,建立条件关系即可求解.
函数零点的判定定理.
本题主要考查函数零点的判断和应用,注意对a进行讨论,利用根的存在性定理是解决函数零点的基本方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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