已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a•b=0至多有一个实根，则a与b的夹角的范围是 _ ．

题目

已知|

a

|=2|

b

|≠0，且关于x的方程x2+|

a

|x+

a

•

b

=0至多有一个实根，则

a

与

b

的夹角的范围是 ___ ．

答案

设两向量的夹角为θ，由于 x2+|

a

|x+

a

•

b

=0至多有一个实根，
∴△=|

a

|2-4

a

•

b

≤ 0，即 |

a

|2-4

|a

|•|

b

|cosθ≤0．
∵|

a

|=2|

b

|≠0，∴cosθ≥

1

2

，∴θ∈[0  ，

π

3

]，
故答案为：[

π

3

，π]

利用二次方程至多有一个实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角．

本题考点：数量积表示两个向量的夹角．

考点点评：本题考查二次方程至多有一个实根的充要条件：△≤0，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．