平面向量的数量积

平面向量的数量积

平面向量数量积的定义

  代数定义

  设二维空间内有两个向量,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:更一般地,n维向量的内积定义如下:

  几何定义

  设二维空间内有两个向量,它们的夹角为,则内积定义为以下实数:该定义只对二维和三维空间有效。

  两种定义的等价性

  以三维空间为例子①几何定义推导代数定义设,根据向量坐标的意义可知

根据点乘的分配律得

所以

注意:点乘的分配律在空间内可通过几何证明,无需藉助向量关系,因此不属于循环推导。

  ②代数定义推导几何定义设,它们的终点分别为,原点为O,夹角为。则

在△OAB中,由余弦定理得:

利用距离公式对这个等式稍作处理,得

去括号、合并得

注意:余弦定理和距离公式亦无需向量知识

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