已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab=1，ab(a2+b2+c2)=18．又α，β为方程（a+b）x2-（2a+c）x-（a+b）=0的两个实根，试

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知实数a，b，c满足：a²+b²+c²+2ab=1，ab(a2+b2+c2)=

1

8

．又α，β为方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两个实根，试求

α3+β3

α+β

的值．

答案

由条件可得a²+b²+c²，2ab为方程x²-x+

1

4

=0的二根，
∴a²+b²+c²=2ab=

1

2

，
由a²+b²+c²=2ab得（a-b）²+c²=0，
∴

a=b= 1 2 c=0

或

a=b=- 1 2 c=0

把两组值代入原方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0得到的方程相同．
即x²-x-1=0，
∴

α3+β3

α+β

=α²+β²-αβ=（α+β）²-3αβ=4．