观察下列等式：11×2=1-12；12×3=12-13；13×4=13-14将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+1

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

=______； ②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

=______．

答案

（1）根据：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
可知：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

(n+1)

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

=

2009

2010

，
②进而推广：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

，
=

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

4

-

1

6

）+…+

1

2

（

1

2008

-

1

2010

），
=

1

2

（

1

2

-

1

2010

），
=

251

1005

．