求所有正整数x,y,使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数.
题型:解答题难度:一般来源:竞赛题
求所有正整数x,y,使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数. |
答案
解:令x2+3y=m2(1), y2+3x=n2, 由于其对称性,可暂设x≥y,不失一般性. 由(1)式可知m>x, 又因为m2=x2+3y<x2+4x+4=(x+2)2, 所以,只有m=x+1,代入(1)得 3y=2x+1,x= 将其代入(2)式得,y2+y﹣=n2 同理可以得y<n<y+3, 故只有n=y+1或n=y+2 分别代入(4)式得, y=1或,y=11, 由(3)式可得,x=1或x=16, 又因为x,y可互换, 故方程有三组解,即(1,1);(16,11);(11,16) |
举一反三
设a<b<0,a2+b2=4ab,则的值为 |
[ ] |
A. B. C.2 D.3 |
已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 |
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[ ] |
A.0 B.1 C.2 D.3 |
已知 m﹣n=﹣5,m2+n2=13,那么m4+n4= |
[ ] |
A.79 B.50 C.100 D.97 |
设x,y为实数,5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为( ) |
[ ] |
A.1 B.2 C.3 D.5 |
设a>b>0,a2+b2=4ab,则的值等于_________. |
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