若x，y，z满足x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，求x4+y4+z4的值．

题型：解答题难度：一般来源：竞赛题

若x，y，z满足x+y+z=1，x²+y²+z²=2，x³+y³+z³=3，求x⁴+y⁴+z⁴的值．

答案

解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx，
∴xy+yz+zx=（1﹣2）=﹣，
∵x³+y³+z³﹣3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²﹣xy﹣yz﹣zx），
∴xyz=，
x⁴+y⁴+z⁴=（x²+y²+z²）²﹣2（x²y²+y²z²+z²x²），
∵x²y²+y²z²+z²x²=（xy+yz+zx）²﹣2xyz（x+y+z）=﹣=﹣，
∴x⁴+y⁴+z⁴=（x²+y²+z²）²﹣2（x²y²+y²z²+z²x²）=4﹣2×（﹣）=．