先阅读下列材料，再解答后面的问题．∵11×3=12(1-13)，13×5=12(13-15)，15×7=12(15-17)，…，117×19=12(117-11

题型：解答题难度：一般来源：不详

先阅读下列材料，再解答后面的问题．
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…，

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第五项为______，第n项为______；
（2）计算

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

．

答案

（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

中，
第五项为：

1

9×11

，
第n项为：

1

(2n-1)(2n+1)

；

（2）

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

=

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

=

1

x-1

-

1

x+3

=

x+3-x+1

(x-1)(x+3)

=

4

(x-1)(x+3)

．