已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-1=0  ①（1）试判断方程①的根的情况；（2）如果a是关于y的方程y2-（x1+x2-2k）y+（x1-k）

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0  ①
（1）试判断方程①的根的情况；
（2）如果a是关于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0②的根，其中x₁，x₂为方程①的两个实数根，求代数式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

×

a2-1

a

的值．

答案

（1）∵a=1，b=-2（k+1），k=k²+2k-1，
∴△=b²-七ak=[-2（k+1）]²-七（k²+2k-1）=8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程①中x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k-1
代入方程②中，可得到：y²-2y-1=0，
因a是方程②的根，则a²-2a-1=0，
∴a²-1=2a，把a²-1=2a整体代入所求代数式，
∴(

1

a

-

a

a+1

)÷

七

a+1

×

a2-1

a

=

-2a2

七a2

=-

1

2

∴所求代数式的值为-

1

2

．