在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观

题型：解答题难度：一般来源：不详

在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。

归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）       .
【研究方程】
提出问题：怎么图解一元二次方程
几何建模：
（1）变形：
（2）画四个长为，宽为的矩形，构造图④

（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积
即：
∵
∴
∴
∵
∴
归纳提炼：求关于的一元二次方程的解
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎么运用矩形面积表示与的大小关系（其中）？
几何建模：
（1）画长，宽的矩形，按图⑤方式分割

（2）变形：
（3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为，
画点部分的面积可表示为，由图形的部分与整体的关系可知：＞，即
＞
归纳提炼：
当，时，表示与的大小关系
根据题意，设，，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）

答案

解：【研究速算】归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果。
【研究方程】归纳提炼：
几何建模：
画四个长为，宽为的矩形，构造图：

图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为的小正方形面积，即： 。
∵，∴，即：。
∵，，∴。
【研究不等关系】归纳提炼：
画四个长为，宽为的矩形，构造图：

图中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为与的和。
由图形的部分与整体的关系可知：＞，即＞

解析

试题分析：【研究速算】归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果。
【研究方程】归纳提炼：根据题示的解法求解。
【研究不等关系】归纳提炼：根据题示的解法求解。