已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．

题型：解答题难度：一般来源：竞赛题

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．

答案

解：设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β，
∵方程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则方程x²+cx+a=0的两根为α+1，β+1，
α+β=﹣a，（α+1）（β+1）=a，
两式相加，得αβ²+2αβ+1=0，即（α+2）（β+2）=3，
或
解得或
又∵a=﹣（α+β）=﹣[（﹣1）+1]=0，
b=αβ=﹣1×1=﹣1，c=﹣[（α+1）+（β+1）]=﹣[（﹣1+1）+（1+1）]=﹣2，
或a=﹣（α+β）=﹣[（﹣5）+（﹣3）]=8，
b=αβ=（﹣5）×（﹣3）=15，c=﹣[（α+1）+（β+1）]=﹣[（﹣5+1）+（﹣3+1）]=6，
∴a=0，b=﹣1，c=﹣2；
或者a=8，b=15，c=6，
∴a+b+c=0+（﹣1）+（﹣2）=﹣3或a+b+c=8+15+6=29，
故a+b+c=﹣3，或29．