设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．

题型：不详难度：来源：

设x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均为正整数，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．试求x₅的最大值．

答案

由于x₁、x₂、x₃、x₄、x₅在式中对称，故不妨设x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
并令S=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤x₁x₂x₃x₄x₅．则S≤5x₅，即t=x₁x₂x₃x₄≤5；
那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．
①当t=5时，由于t=1×5，故令x₁=x₂=x₃=1，x₄=5，代入S可得x₅=2，与x₄≤x₅相矛盾，故x₅=2不合题意；
②同理，当t=1或4时均不合题意．当t=3时，x₅=3，符合题意；
③当t=2时，由于t=1×2，令x₁=x₂=x₃=1，x₄=2，代入S可得x₅=5，符合题意；
综上所述，故x₅的最大值为5．