解:(1)如图1,过点A作AE⊥x轴于点E.
在△BCD与△CAE中, ∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE,∠BDC=∠CEA=90°, ∴△BCD≌△CAE, ∴BD:CE=CD:AE, ∵A(3,4),B(-1,y),C(x,0)且-1<x<3, ∴y:(3-x)=(x+1):4, ∴(-1<x<3); (2)y没有最大值.理由如下: ∵ 又∵-1<x<3, ∴y没有最大值; (3)如图2,过点A作x轴的平行线,并且在这条平行线上截取线段AA′,使AA′=1,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点E,在x轴上截取线段EF=1,则此时四边形ABEF的周长最小.
∵A(3,4),∴A′(2,4), ∵B(-1,1),∴B′(-1,-1). 设直线A′B′的解析式为y=kx+b, 则, 解得. ∴直线A′B′的解析式为, 当y=0时,,解得. 故线段EF平移至如图2所示位置时,四边形ABEF的周长最小,此时点E的坐标为(,0) (1)过点A作AE⊥x轴于点E,先证明△BCD≌△CAE,再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式; (2)先运用配方法将写成顶点式,再根据自变量x的取值范围即可求解; (3)欲使四边形ABEF的周长最小,由于线段AB与EF是定长,所以只需BE+AF最小.为此,先确定点E、F的位置:过点A作x轴的平行线,并且在这条平行线上截取线段AA′,使AA′=1,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点E,在x轴上截取线段EF=1,则点E、F的位置确定.再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式,然后令y=0,即可求出点E的横坐标,进而得出点E的坐标 |