(1)如图1,过C点作CD⊥x轴于点K,与⊙P相交于点D, ∵AO为直径, ∴CK=KD,CK2=AK•KO, ∵点C的坐标为(-8,4), ∴CK=4,OK=8, ∴42=AK•8, ∴AK=2, ∴AO=10, ∴点A的坐标为(-10,0);(2分)
(2)∵P(-5,0),K(-8,0), ∴PK=3, 如图2,连接PD,PE, ∵m=-5,且P(-5,0), ∴PE⊥x轴于P, 又∵点E(-5,n)中⊙,且n<0, ∴点E的坐标为(-5,-5), ∵△CMN是以MN为底的等腰三角形, ∴∠CNM=∠CMN, ∴∠FCD=∠ECD, ∴ | FD | = | ED |
∴PD⊥EF, ∴∠DPK=∠QEP, ∴Rt△KPD∽Rt△PEQ, ∴=, 即=, ∴PQ=, ∴OQ=OQ+PQ=5+=, ∴点Q的坐标为(-,0), 设图象经过E、Q两点的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), ∴, 解得, ∴一次函数的解析式为y=-x-;(5分)
(3)猜想:当点E在⊙P上运动时,∠OQE的大小始终保持不变,(6分) 证明:因为-10<m≤-5,n<0,可知点E(m,n)在⊙P的四分之一的圆上运动(点E不与点A、点D重合), 如图,在⊙P的四分之一的圆上任取一点E(点E不与点A、点D重合),连接PD,过点E作EH⊥x轴于点H, ∵∠CNM=∠CMN, ∴∠FCD=∠ECD, ∴ | FD | = | ED | , ∴PD⊥EF, ∴∠OQE=∠PDK, ∵∠PDK的大小始终不变, ∴∠OQE的大小始终不变, 综上所述,当点E(m,n)在⊙P的四分之一的圆上运动(点E不与点A、点D重合)时,∠OQE的大小始终不变.(8分) (注:其他解法酌情给分)
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