某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；

题型：不详难度：来源：

某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m²的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为

a

4

元；③拆去1m旧墙，用所得材料建造1m新墙的费用为

a

2

元．经过讨论有两种方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？

答案

设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为

126

x

m．
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•

a

4

元，
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•

a

2

元，其余建新墙的费用为（2x+

2×126

x

-14）•a元．
故总费用为
y=x•

a

4

+

14-x

2

•a+（2x+

252

x

-14）•a=a（

7

4

x+

252

x

-7）=7a（

x

4

+

36

x

-1）．（0＜x＜14）
∴y≥7a[2

x 4 • 36 x

-1]=35a．当且仅当

x

4

=

36

x

，即x=12m时，y_min=35a（元）；
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为

a

4

•14=

7

2

a元，建新墙的费用为（2x+

252

x

-14）a元．
故总费用为y=

7

2

a+（2x+

252

x

-14）a=

7

2

a+2a（x+

126

x

-7）（x≥14）．
设14≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞196．
则（x₁+

126

x1

）-（x₂+

126

x2

）=（x₁-x₂）（1-

126

x1x2

）
∴函数y=x+

126

x

在区间[14，+∞]上为增函数．
故当x=14时，y_min=

7

2

a+2a（14+

126

14

-7）=35.5a＞35a．
综上讨论可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．