如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）如答图1，过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=12，
∴CF=BF=12．
∵C 的坐标为（﹣18，0），
∴AB=OF=6，
∴点B的坐标为（﹣6，12）；
（2）如答图1，过点D作DG⊥y轴于点G，
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵，AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，
∴D（﹣4，8），E（0，4），
设直线DE的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴，解得：，
∴直线DE的解析式为：y=﹣x+4；
（3）结论：存在．
设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），
OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP₁Q₁，此时OE为菱形一边．
则有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF﹣P₁E= 4﹣4．
易知△P₁NF为等腰直角三角形，
∴P₁N=NF=P₁F=4﹣2；
设P₁Q₁交x轴于点N，
则NQ₁=P₁Q₁﹣P₁N=4﹣（4﹣2）=2，
又ON=OF﹣NF= 2，
∴Q₁（2，﹣2）；
②菱形OEP₂Q₂，此时OE为菱形一边．
此时Q₂与Q₁关于原点对称，
∴Q₂（﹣2，2）；
③菱形OEQ₃P₃，此时OE为菱形一边．
此时P₃与点F重合，菱形OEQ₃P₃为正方形，
∴Q₃（4，4）；
④菱形OP₄EQ₄，此时OE为菱形对角线．
由菱形性质可知，P₄Q₄为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P₄纵坐标为2，
代入直线解析式y=﹣x+4，得P₄横坐标为2，
则P₄（2，2），
由菱形性质可知，P₄、Q₄关于OE或x轴对称，
∴Q₄（﹣2，2）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q₁（2，﹣2），
Q₂（﹣2，2），
Q₃（4，4），Q₄（﹣2，2）．

答图1










答图2