解:(1)作BC的中垂线MN,在MN上取点P,
连接PA、PB、PC、PD,如图1所示,
∵MN是BC的中垂线,
∴PA=PD,PC=PB,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=DB,
即,
∴△PAC≌△PDB(SSS);
(2)证明:过点P作KG∥BC,如图2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB⊥BC,DC⊥BC,
∴AB⊥KG,DC⊥KG,
∴在Rt△PAK中,PA2=AK2+PK2,
同理,PC2=CG2+PG2,PB2=BK2+PK2,PD2=+DG2+PG2,
PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2,PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2.
AB⊥KG,DC⊥KG,AD⊥AB,可证得四边形ADGK是矩形,
∴AK=DG,同理CG=BK,
∴AK2=DG2,CG2=BK2,
∴PA2+PC2=PB2+PD2;
(3)∵点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3),
∴BC=4,AB=2,
∴S矩形ABCD=4×2=8,
直线HI垂直BC于点I,交AD于点H,
当点P在直线AD与BC之间时,
S△PAD+S△PBC=BC·HI=4,
即x+y=4,因而y与x的函数关系式为y=4﹣x;
当点P在直线AD上方时,
S△PBC﹣S△PAD=BC·HI=4,
因而y与x的函数关系式为y=4+x;
当点P在直线BC下方时,
S△PAD﹣S△PBC=BC·HI=4,
y与x的函数关系式为y=x﹣4.
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