设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1

题型：浙江省竞赛题难度：来源：

设关于x的一次函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b2，则称函数y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．

答案

解：（1）当x=1时，y=m（x+1）+n（2x）=m（1+1）+n（2×1）=2m+2n=2（m+n），
∵m+n=1，
∴y=2；
（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，设点P的坐标为（a，b），
∵a₁×a+b₁=b，a_2×a+b₂=b，
∴当x=a时，y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂），=m（a₁×a+b₁）+（a₂×a+b₂）=mb+nb=b（m+n）=b，即点P在此两个函数的生成图象上．