如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为（1，3），矩形O"A"BC"是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的，O"点恰好在x轴

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为（1，3），
矩形O"A"BC"是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的，O"点恰好在x轴的正半轴上，O"C"交AB于点D。
（1）求点O"的坐标，并判断△O"DB的形状（要说明理由）；
（2）求边C"O"所在直线的解析式；
（3）延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得ΔPOM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0），△O′DB为等腰三角形，
理由如下：在△BC′D与△O′AD中，
，∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；
（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD²+AO′²=O′D²，
∴a²+1²=（3-a）²，解得a=，
∴点D的坐标为（1，），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴边C′O′所在直线的解析式：；
（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，点P与点O′重合，
∴点P的坐标是（2，0），
②PO是另一直角边，∠POA=45°，
则PO所在的直线为y=x，
∴，
解得，
∴点P的坐标为P（2，0）或（）。