如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动。

(1)求线段OA所在直线的函数解析式；
(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A(2，4)，
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x；
(2)①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m(0≤m≤2)，
∴顶点M的坐标为(m，2m)，
∴抛物线函数解析式为y=(x-m)²+2m，
∴当x=2时，(0≤m≤2)，
∴点P的坐标是(2，)，
②∵，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短；

(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为，
假设在抛物线上存在点Q，使，
设点Q的坐标为(x，)，
①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴点C的坐标是(0，-1)，
∵点P的坐标是(2，3)，
∴直线PC的函数解析式为y=2x-1，
∵，
∴点Q落在直线y=2x-1上，
∴，
解得，即点(2，3)，
∴点Q与点P重合，
∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等；
②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐标分别是(0，1)，(2，5)，
∴直线DE函数解析式为y=2x+1，
∵，
∴点Q落在直线y=2x+1上，
∴，解得：，
代入，得，
∴此时抛物线上存在点，使△QMA与△PMA的面积相等，
综上所述，抛物线上存在点，使△QMA与△PMA的面积相等。