设关于x的一次函数y=a1x +b1与y=a2x+ b2,则称函数y=m(a1x +b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两函数的生成函数。(1)当x
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设关于x的一次函数y=a1x +b1与y=a2x+ b2,则称函数y=m(a1x +b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两函数的生成函数。 (1)当x=1时,求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值; (2)若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P,判断点P是否在这两个函数的生成函数的图象上,并说明理由。 |
答案
解:(1)设函数y=x+1与y=2x的生成函数为y=m(x+1)+n(2x)=(m+2n)x+m, 当x=1时,两函数的生成函数值为y=(m+2n)×1+m=2m+2n=2(m+n), ∵m+n=1, ∴此两函数的生成函数的值为y =2×1=2; (2)点P是在此两个函数的生成函数的图象上,理由如下: 设点P的坐标为(e,f) 则由题意可得f=a1e+b1与f=a2e+b2, 又知函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的生成函数为y=m(a1x+b1)+n(a2x+ b2), ∴当自变量x=e时,生成函数的值为y=m(a1e+b1)+n(a2e+ b2)=mf+nf=(m+n)f=1×f=f, 即点P是在此两函数的生成函数的图象上。 |
举一反三
一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h), 两车之间的距离为y(km),如图所示中的折线表示y与x之间的函数关系。 |
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根据图象进行以下探究: (1)甲、乙两地之间的距离为______km; (2)请解释图中点B的实际意义; (3)求慢车和快车的速度; (4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同,在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇,求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时? |
甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地,行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图所示,根据图象解决下列问题: (1)( )先出发,先出发( )分钟;( )先到达终点,先到( )分钟; (2)在什么时间段内,两人均行驶在途中(不包括起点和终点),在这一时间段内,请你根据下列情形填空: 当( )时,甲在乙的前面; 当( )时,甲与乙相遇; 当( )时,甲在乙的后面; (3)甲的行驶速度为( ); 乙的行驶速度为( )。 |
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为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量x(吨)与应付水费y(元)的函数关系如图所示。 (1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式; (2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少? |
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小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作: 请根据下图中给出的信息,解答下列问题: (1)放入一个小球,量筒中水面升高_______cm; (2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)量筒中至少放人几个小球时有水溢出? |
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小王和小李存款y(元)和月份x(月)之间的函数关系式的图象如图所示,结合图象解答下列问题: (1)分别求出小王与小李存款y(元)和月份x(月)之间的函数关系式; (2)小王与小李中,哪个人的存款额先达到100元?请说明理由。 |
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