如图,一次函数y=-x+b与反比例函数的图象相交于A(-1,4)、B(4,-1)两点,直线l⊥x轴于点E(-4,0),与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C
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如图,一次函数y=-x+b与反比例函数的图象相交于A(-1,4)、B(4,-1)两点,直线l⊥x轴于点E(-4,0),与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C
题型:不详
难度:
来源:
如图,一次函数y=-x+b与反比例函数
的图象相交于A(-1,4)、B(4,-1)两点,直线l⊥x轴于点E(-4,0),与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D,连接AC、BC
(1)、求出b和k;
(2)、求证:△ACD是等腰直角三角形;
(3)、在y轴上是否存在点P,使
,若存在,请求出P的坐标,若不存在,请说明理由。
答案
(1)3,-4;(2)证明见解析;(3)存在,P
1
(0,
),P
2
(0,-
).
解析
试题分析:(1)将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得k和b的值;
(2))根据直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D,求得点D(-4,7),根据直线x=-4与反比例函数y=-
交于点C确定点C(-4,1),从而确定AD=AC,然后根据勾股定理的逆定理确定△ACD是直角三角形,从而确定△ACD是等腰直角三角形;
(3)过点A作AP
1
∥BC,交y轴于P
1
,则S
△
PBC
=S
△
ABC
,根据B(4,-1),C(-4,1)确定直线BC的解析式为y=-
x,然后设直线AP
1
的解析式为y=-
x+b
1
,把A(-1,4)代入可求b
1
=
,求得P
1
(0,
),作P
1
关于x轴的对称点P
2
,利用S
△
P
1BC
=S
△
P
2BCBC
=S
△
ABC
,确定P
2
(0,-
);
试题解析:(1)解:∵一次函数y=-x+b的图象经过点A(-1,4)
∴-(-1)+b=4,
即b=3,
又∵反比例函数
(k≠0)的图象经过点A(-1,4)
∴k=xy=(-1)×4=-4;
(2)证明:∵直线l⊥x轴于点E(-4,0)则直线l解析式为x=-4,
∴直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D,则D(-4,7)
直线x=-4与反比例函数y=-
交于点C,
则C(-4,1)
过点A作AF⊥直线l于点F,
∵A(-1,4),C(-4,1),D(-4,7)
∴CD=6,AF=3,DF=3,FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°,
由勾股定理得:AC=AD=3
又∵AD
2
+AC
2
=(3
)
2
+(3
)
2
=36
CD
2
=6
2
=36
∴AD
2
+AC
2
=CD
2
∴由勾股定理逆定理得:△ACD是直角三角形,
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形;
(3)解:过点A作AP
1
∥BC,交y轴于P
1
,则S
△
PBC
=S
△
ABC
∵B(4,-1),C(-4,1)
∴直线BC的解析式为y=-
x
∵设直线AP
1
的解析式为y=-
x+b
1
,把A(-1,4)代入可求b
1
=
,
∴P
1
(0,
),
∴作P
1
关于x轴的对称点P
2
,则S
△
P
1BC
=S
△
P
2BCBC
=S
△
ABC
,
故P
2
(0,-
);即存在P
1
(0,
),P
2
(0,-
).
考点: 反比例函数综合题
举一反三
设函数
与
的图象的交点坐标为(a,b),则
的值为_________.
题型:不详
难度:
|
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在同一坐标系中,函数
和
的图象大致是( )
题型:不详
难度:
|
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当
>0,
<0时,反比例函数
的图象在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
题型:不详
难度:
|
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若反比例函数
的图象位于第二、四象限,则
的值是( )
A.0
B.0或1
C.0或2
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知点
、
、
都在反比例函数
的图象上,则
的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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